Tabliczka rozszyfrowana

 

Tablice Plimptona 322 znaleziono w Tell Senkereh na południu Iraku, czyli w miejscu, w którym kiedyś znajdowało się mezopotamskie miasto- -państwo Larsa.
www.thehistoryblog.com/archives

Pod każdym względem to odkrycie rewolucyjne. Stare babilońskie tablice zostały odczytane przez matematyków z Australii i okazało się, że my – współcześni – sporo możemy się dzięki nim nauczyć. Przy okazji wyszło na jaw, że to nie Grecy wymyślili trygonometrię.

Gliniane tablice Plimptona 322 mają około 3800 lat i zawierają nic nie mówiące większości z nas znaki. Specjaliści zajmujący się Babilonem i jego cywilizacją dość łatwo je odczytają. Są jednak bardzo trudne do zrozumienia. W niewielkiej tabeli zawierają bowiem liczby. Ale – jak się okazuje – wcale nie przypadkowe.

Widzieć, ale nie zauważyć

Tablice Plimptona znaleziono na początku XX wieku w Iraku. Przez kolejnych kilkadziesiąt lat były obiektem handlu. Ich znalazca, Edgar Banks, żył z obrotu antykami. Ostatecznie tablice znalazły się w Bibliotece Uniwersytetu Columbia w Nowym Jorku, w dziale Ksiąg Rzadkich i Rękopisów pod numerem katalogowym P322. Skąd w nazwie literka „P”? Edgar Banks, handlarz antykami i awanturnik, odsprzedał tabliczkę Amerykaninowi George’owi Plimptonowi, który całą swoją kolekcję antyków i artefaktów archeologicznych przekazał Uniwersytetowi Columbia. Literka „P” w nazwie katalogowej pochodzi od nazwiska ostatniego właściciela tablic. Prawdziwa ich kariera zaczęła się jednak w latach 50. XX wieku, gdy zerknęło na nie dwóch matematyków. Wcześniej na kawałek glinianej tabliczki zapełnionej pismem klinowym patrzyło wielu. I być może nawet widzieli tabelę z liczbami, ale nie rozumieli, co one oznaczają. Nie pomagał w interpretacji zapisu fakt, że tabliczka jest tylko fragmentem większej całości. Co gorsza, liczby nie są zapisane w naszym systemie dziesiętnym, tylko w systemie sześćdziesiętnym. Na uszkodzonej tabliczce (liczącej 13 cm długości i 9 cm szerokości) widać cztery kolumny po 15 wersów każda.
30 lat po tym, gdy gliniana wyszczerbiona tabliczka została oddana uniwersytetowi w Nowym Jorku, pod koniec lat 40. XX wieku, dwóch matematyków (Otto Neugebauer i Abraham Sachs) zauważyło, że tabela zawiera tzw. trójki pitagorejskie. I tu zaczyna się prawdziwa rewelacja.

Trójki od trójkątów

Trójki pitagorejskie to grupy trzech liczb, które spełniają znane od szkoły podstawowej równanie Pitagorasa, a2 + b2 = c2. Trójka pitagorejska to „a”, „b” i „c”, czyli długości boków trójkąta prostokątnego (a więc takiego, w którym jednym z kątów jest kąt prosty). Przykładową trójką pitagorejską są liczby 3, 4 i 5. Gdy 3 i 4 podniesiemy do kwadratu, a następnie dodamy, otrzymamy 25 (9 + 16). 25 dostaniemy też wtedy, gdy do kwadratu podniesiemy 5. Liczby 3, 4 i 5 odpowiadają naszym „a”, „b” i „c” ze wzoru Pitagorasa. Inną trójką pitagorejską są 5, 12 i 13 albo 9, 12 i 15.
Okazuje się, że odnaleziona na terenie dzisiejszego Iraku, a stworzona przed tysiącami lat tablica jest zbiorem trójek pitagorejskich. I co z tego? Co takiego rewolucyjnego jest w pogrupowaniu liczb w trójki? Po pierwsze, jeżeli 3800 lat temu ktoś stworzył taką tablicę, to znaczy, że trygonometria nie narodziła się w Grecji, tylko setki lat wcześniej w Mezopotamii. Pitagoras żył w VI wieku przed Chr. i jest uważany za kogoś, kto zwrócił uwagę na zależności pomiędzy długościami boków w pewnym typie trójkąta (tego z kątem prostym). Tymczasem okazuje się, że mieszkańcy Mezopotamii znali te zależności dużo wcześniej.
Jest i drugi powód, dla którego wielu matematyków i historyków odczytanie i zrozumienie tego, co zapisano na tablicy Plimptona 322, uważa za rewelację. Babilończycy zupełnie inaczej opisywali trójkąty. Nie tak jak my, podając kąty pomiędzy poszczególnymi bokami, ale przez ułamki, które powstają, gdy podzielimy długości boków przez siebie. I tak na glinianej tabliczce każdy z 15 wierszy zawiera wyrażony ułamkowo stosunek krótkiego boku trójkąta do długiego boku przyprostokątnej (czyli a/b) oraz stosunek boku krótkiego do długości przeciwprostokątnej (czyli a/c). Co warte podkreślenia, w Babilonie matematycy (albo ci, którzy zajmowali się matematyką) nie znali pojęcia kątów w trójkącie. Figury opisywali stosunkiem długości boków. W systemie dziesiętnym (czyli takim, jakiego my używamy) zapisy stosunków odpowiednich boków są nieprecyzyjne, ale w systemie sześćdziesiętnym są bardzo dokładne. I to jest kolejna rewelacja. Nasze, współczesne tablice trygonometryczne złożone są z tabelek, w których wypisane są sinusy i kosinusy (a także tangensy i kotangensy), co siłą rzeczy powoduje, że wartości, jakimi operujemy, są podawane w przybliżeniu. Sposób, w jaki stosunki boków, a pośrednio także kąty, opisali 3800 lat temu Babilończycy, nie jest przybliżony, lecz dokładny.

Co z tego mamy?

Najnowsza praca dotycząca Plimptona 322 została opublikowana w czasopiśmie „Historia Mathematica”. Jej autorami są matematycy pracujący na Uniwersytecie Nowej Południowej Walii w Sydney, dr Daniel Mansfield i prof. Norman Wildberger. Babilońska tabliczka jest najstarszym znanym śladem mówiącym o znajomości trygonometrii przez człowieka. Nie zanosi się co prawda na to, że w podręcznikach szkolnych zmieniona zostanie nazwa twierdzenia Pitagorasa, ale dla ludzi zajmujących się historią nauki, a także inżynierii, to bardzo ważna informacja.
Po co komu 3800 lat temu była tak zaawansowana (dokładna) trygonometria? Jeden z autorów publikacji powiedział, że tablica mogła służyć do interpretacji pomiarów geodezyjnych, np. wysokości budynków albo wzniesień. Mogła więc być wykorzystywana do budowy pałaców, świątyń i piramid. Co prawda świat nauki jest do tej hipotezy nastawiony mniej entuzjastycznie (podkreślając, że owszem, tablica jest fascynującym odkryciem, jednak nie ma dowodów na powszechność jej użycia), ale autorzy najnowszych badań nie poprzestają na jednej analizie. Mówią wprost, że magazyny muzeów na całym świecie mają wiele różnych tablic pisanych klinami, których nikt dotychczas nie analizował pod kątem matematyki. Jeżeli tablica faktycznie była używana powszechnie w architekturze, inżynierii i geodezji, nie mogła przecież istnieć w jednym egzemplarzu. A skoro tak, muszą gdzieś znajdować się kolejne jej kopie. Jeżeli rzeczywiście w muzeach takie są, jeżeli odnajdywano je w różnych miejscach Mezopotamii, jeżeli pochodziły z dłuższego okresu, trudno będzie obronić tezę, że Plimpton 322 jest jednorazową ciekawostką.
A co my dzisiaj możemy mieć z tego odkrycia? Poza tym, że właśnie dowiedzieliśmy się, że to nie Grecy wymyślili trygonometrię? Możemy zachwycić się ludzkim umysłem, który tak dawno temu zdolny był do znalezienia zależności pomiędzy długościami boków trójkątów. Możemy zachwycić się tym, że opis tych zależności jest zupełnie inny niż ten, który my znamy. To w pewnym sensie inna matematyka. I dużo lepsza. Bo nie posługująca się przybliżeniami, tylko dokładna. Tablice trygonometryczne, jakimi współcześnie posługują się uczniowie czy profesjonaliści, oparte są na kątach, Plimpton 322 oparty jest na ułamkach. Takiej dokładności, jaką udało się osiągnąć Babilończykom, nam nie udało się i nie uda się osiągnąć nigdy. Nie jest więc wykluczone, że takie dziedziny jak inżynieria, geodezja, ale też informatyka czy druk przestrzenny zaczną posługiwać się „nową trygonometrią”, nie zapominając o starej. •